La manipulation de sommes, via le symbole sigma, repose sur un petit nombre de règles. Cet article a pour objet de les énumérer et d’en donner des exemples d’utilisation, sans aucune prétention à l’originalité. Pour vous entraîner à manier correctement cette écriture et les techniques associées, je vous suggère d’aller jeter un œil aux exercices accessibles depuis cette page. Pour commencer, interrogeons-nous sur l’intérêt de la notation 1 – Abandon des points de suspension En lisant la formule chacun comprend instantanément de quoi il retourne pour calculer cette expression, on doit ajouter les entiers naturels de 1 jusqu’à 10. L’usage des points de suspension ne semble pas constituer, en l’occurrence, un obstacle à la compréhension. Même chose pour On devine aisément qu’il s’agit de la somme des carrés des entiers de 1 à 25. Mais dans le cas de on ne voit pas, même après un certain délai de réflexion, ce que cachent les points de suspension. Pourtant, ces nombres n’ont pas été choisis au hasard. Ce sont les premiers termes de la suite définie par la formule où désigne la partie entière par défaut du réel En effet et ainsi de suite…On pourrait donc penser que les points de suspension peuvent être utilisés, à condition qu’il n’existe aucun doute quant à l’identité de la suite sous-jacente. Mais ce n’est pas aussi simple… Par exemple, si l’on pose pour tout entier les premiers termes de la suite sont Mais attention Donc, lorsqu’on écrit pourquoi ne s’agirait-il pas, après tout, de la somme des neufs premiers termes de la suite ? Ceci montre la nécessité d’une notation totalement explicite, qui élimine toute abandonne donc les points de suspension et on adopte la notation 2 – Le symbole ∑ Etant donnée une liste de nombres réels ou, plus généralement, complexes, on note pour désigner ce qu’on aurait noté jusque là . Cette formule se lit somme, pour variant de 1 jusqu’à n, de u indice k ». La symbole est l’indice de sommation. Il est essentiel de comprendre que la somme ne dépend absolument pas de Pour cette raison, ce symbole est qualifié de muet ». Concrètement, cela signifie qu’on peut le remplacer par n’importe quel autre symbole… qui ne soit pas déjà utilisé dans le contexte du calcul ! Par exemple, étant donnés et la somme peut être notée mais certainement pas puisque le symbole serait utilisé pour désigner deux choses différentes !! Revenons au cas général. Au lieu de la notation on peut utiliser l’une des deux variantes suivantes le symbole désignant l’ensemble des entiers compris entre 1 et n inclusivement. L’écriture se généralise facilement en où I est un ensemble fini et non vide et où, pour tout désigne un nombre complexe. Notons que, dans l’écriture rien n’indique la manière dont les termes sont additionnés. Mais c’est sans importance, puisque l’addition des nombres complexes est une opération commutative et associative. La commutativité permet de modifier l’ordre des termes sans affecter le total, tandis que l’associativité dit que les différents parenthésages possibles sont équivalents. Une manière plus aboutie d’exprimer l’équivalence des différents parenthésages est la l’on partitionne I en sous-ensembles ce qui veut dire que les sont non vides, deux à deux disjoints et que leur union est I, alors formule générale d’associativité Nous verrons à la section 7 une conséquence pratique importante de cette formule l’interversion de sommes doubles sur des domaines de sommation rectangulaires ou triangulaires. Ajoutons que, par convention, une somme de nombres complexes indexée par l’ensemble vide est nulle. Cette convention a le mérite de maintenir vraie la formule générale d’associativité, même si certains sous-ensembles sont vides. Passons maintenant aux règles utilisées en pratique pour manipuler des sommes. 3 – Séparer / Fusionner L’ordre des termes étant sans importance pour le calcul d’une somme, on voit que si et sont des nombres complexes quelconques, alors Les parenthèses sont recommandées, pour ne pas dire indispensables ! Par exemple tandis que, par défaut s’interprète en Mais revenons à la dernière égalité encadrée. Lorsqu’on la parcourt de gauche à droite, on dit qu’on sépare la somme en deux. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on fusionne les deux sommes en une seule. Il est nécessaire, pour la fusion, que les deux ensembles d’indices coïncident. Si tel n’est pas le cas, on peut éventuellement s’y ramener en effectuant une ré-indexation dans l’une des deux sommes je ne vous ai pas encore parlé de ré-indexation, mais nous verrons cela un peu plus loin cf. section 5. 4 – Développer / Factoriser La formule bien connue de distributivité se généralise sans effort simple récurrence pour donner ceci si et sont des nombres complexes, alors Lorsqu’on parcourt cette égalité de gauche à droite, on dit qu’on met en facteur dans la somme. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on développe, ou qu’on distribue sur la somme. Et attention à l’erreur du débutant pour avoir le droit de factoriser par encore faut-il que ce coefficient soit indépendant de l’indice de sommation. L’exemple qui suit est repris en détail dans la vidéo Calcul de Sommes, Episode 1. Si vous connaissez les propriétés des coefficients binomiaux, vous savez sans doute que pour tout couple d’entiers vérifiant Cette relation est appelée parfois formule du pion ». Un exercice classique consiste à demander le calcul de la somme Mettre en facteur dans cette somme serait monstrueux ! Il n’y a d’ailleurs, sous cette forme, rien à mettre en facteur. Mais en écrivant plutôt on peut factoriser par ce qui conduit à Pour finir, la somme des termes de la ème ligne du triangle de Pascal est égale à , donc 5 – Changer d’indice Changer d’indice dans ou ré-indexer une somme consiste simplement à en re-numéroter les termes. Par exemple, la somme peut s’écrire mais aussi ou encore Pour passer de la première écriture à la seconde, on pose et pour passer de la première à la troisième, on pose Ces exemples sont très simples on a ré-indexé la somme en décalant l’ancien indice d’une unité. On est parfois conduit à effectuer d’autres types de ré-indexation. Par exemple, si l’on considère et qu’on pose on obtient Les changements d’indice du type ou bien où l’entier est fixé sont assez fréquents. D’une manière plus générale, étant donnés deux ensembles finis et , si est bijective et si est une famille de nombres complexes indexée par alors On dit qu’on passe du membre de gauche à celui de droite en posant Voyons un exemple de ce mécanisme, en considérant un groupe fini et un morphisme de ce groupe vers le groupe des nombres complexes non nuls. Calculons la somme Si est le morphisme constant c’est-à-dire pour tout , alors . Et sinon, il existe tel que L’application étant bijective c’est ce qu’on appelle une translation du groupe , on peut effectuer dans la somme le changement d’indice défini par , ce qui donne et donc soit finalement En résumé 6 – Sommations télescopiques Etant donnés un entier et des nombres complexes l’expression se simplifie en Cela se comprend en écrivant explicitement les quelques premiers termes et les quelques derniers le calcul qui suit suppose On voit très bien que les termes se compensent deux à deux, à l’exception de et qui sont les deux “survivants” … On dit qu’une telle sommation est “télescopique”. Cette appellation fait sans doute référence à ce qui se passe lorsqu’on replie une lunette télescopique cf. figure ci-dessous seules les extrémités restent visibles ! La formule peut être justifiée proprement de deux façons soit par récurrence sur n,soit en séparant en deux sommes, puis en ré-indexant l’une d’elles. Les choses deviennent intéressantes lorsque la sommation n’apparaît pas, au premier coup d’œil, comme étant télescopique … Par exemple, si l’on pose pour tout entier On peut astucieusement écrire, pour tout Il est alors clair que Autre exemple, considérons pour tout En remarquant que, pour tout on voit que Dernier exemple, ajoutons les premiers termes de la suite de Fibonacci. On rappelle que la suite de Fibonacci est définie par les relations et Pour calculer explicitement la somme on peut simplement la ré-écrire Cette fois le télescopage » se fait, non pas entre un terme et son voisin immédiat, mais plutôt de deux en deux. Le plus simple, pour ne pas se prendre les pieds dans le tapis, consiste à écrire de sorte que soit finalement 7 – Intervertir deux sommes Considérons deux entiers ainsi que nombres complexes , avec et . Posons alors Comme expliqué à la section 2, cette notation a un sens, car peu importe l’ordre dans lequel les termes sont additionnés et peu importe le parenthésage utilisé. En particulier, l’ensemble peut être partitionné en lignes» ou bien en colonnes», comme suggéré par l’illustration ci-dessous Ceci conduit à la formule suivante, appelée formule d’interversion pour un domaine de sommation rectangulaire » Le cas d’un domaine de sommation triangulaire, est tout aussi important en exemple, si l’on considère on peut, à nouveau, sommer en lignes» ou bien en colonnes» Et voici la formule correspondante Donnons deux exemples de calcul faisant intervenir les formules et . Exemple 1 Etant donnés et , on pose Il est connu que Comment obtenir ces formules de façon naturelle » ? Une approche consiste à calculer de deux manières l’expression D’une part, la sommation est télescopique et d’autre part, d’après la formule du binôme Après interversion des sommes le domaine est rectangulaire et mise en facteur du coefficient binomial, on obtient d’où, en confrontant les égalités et , la formule de récurrence forte » Si des formules explicites sont connues pour chacune des sommes , , etc …, , alors cette égalité permet de calculer . Par exemple, connaissant les formules on obtient en appliquant ce qui précède avec c’est-à-dire d’où, après quelques petits calculs pas bien méchants Exemple 2 Pour tout entier , on note classiquement le n-ème nombre harmonique » Il existe une foule de choses à savoir au sujet de la suite , mais nous porterons notre attention sur la formule de récurrence suivante Elle se démontre à l’aide de Avec cette formule , on retrouve la divergence de la suite . En effet, si cette suite convergeait vers un réel , on aurait d’après le lemme de Cesàro et donc, en passant à la limite dans , il en résulterait que , ce qui est absurde ! Pour un exemple du même style, mais plus élaboré, voir le challenge 35 8 – Et pour les produits ? L’analogue du symbole pour représenter un produit est le symbole il s’agit de la lettre majuscule grecque pi ». Si sont des nombres réels ou complexes, leur produit est donc noté Ce symbole se manipule essentiellement de la même manière que le symbole . Par exemple, la formule de fusion / séparation s’écrit maintenant En particulier, si pour tout , cette égalité prend la forme l’erreur classique consistant à oublier l’exposant . Tout comme les sommes cf. section 6, les produits peuvent se télescoper. La formule de base est où sont tous supposés non nuls. Voyons pour terminer trois petits exemples de calculs faisant intervenir la notation Exemple 1 Pour tout et pour tout En effet, un produit de puissances d’un même nombre est égal à où désigne la somme des exposants. Or, nous savons que . Exemple 2 Posons pour tout entier et montrons que Il est facile de voir que, pour tout par exemple en remarquant que l’application est croissante sur . Il s’ensuit que d’où la conclusion. Exemple 3 Cherchons une expression simplifiée pour En calculant ceci pour de petites valeurs de , on trouve invariablement 1. On conjecture alors que , ce qu’on prouve par récurrence sans trop de problème non détaillé. Une autre façon d’aborder cette question consiste à écrire comme un produit double un produit de produits puis à intervertir les deux produits tout comme on sait intervertir deux sommes cf. section 7 ce qui prouve bien que . L’égalité repérée par un résulte d’une interversion sur un domaine triangulaire. 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